s, desde 1 á N, ambos in- 
78 
todos los divisores de N = a b c . 
clusive. 
Con lo cual podemos demostrar fácilmente el siguiente: 
Teorema. l.° Si representamos por d un divisor cualquiera 
de N, pero inferior á N [divisor que será precisamente uno de 
los d t ó de los d 2 , exceptuando N], este divisor d dividirá á 
tantos términos en 2d t como en 2d 2 . 
Demostración. Empecemos por demostrar que el teorema 
es exacto para los números compuestos de dos factores pri- 
mos no repetidos: es decir para N=ab. 
En este caso 
(a — 1) (b — 1 ) = ab-í-1 — a — b: 
de suerte que 2d, = ab-f-1 y 2 d 2 — a-f-b; y como todos los 
divisores, exceptuando ab, son 1, a, b, se ve claramente que 
1 divide á los dos términos , ab y 1 en Sd.^ y también álos dos 
términos a, b, de 2d 2 ; que a divide un solo término, ab, en 
2d lt y un solo término a en 2d 2 ; y que igualmente b divide 
un término no más, ab, en 2d 4 , y otro, b, en 2d 2 . 
Luego el teorema es exacto en este caso. 
Para completarlo debemos probar que, si es cierto para 
un número 
N = abc s, de n factores, lo es para 
N'-= abe st, 
compuesto de un factor más. 
En efecto, <p (N) = 2^ — 2 n d 2 : en cuya fórmula el subín- 
dice n sirve para recordar que N se compone de n factores; y 
el segundo miembro es el producto (a — 1) (b — 1) ... (s — 1), 
agrupados los productos positivos d 4 en 2^, y los produc- 
tos negativos d 2 en 2 n d 2 . 
Además suponemos que el teorema es cierto para 
S n ú-S n d 2 . 
Ahora bien: 
cp(N') = (a — 1) (b — 1) (c — 1) (s-t) (t— 1) = 
(2 n d-2 n d 2 )(t-l): 
y desarrollando, 
(a — 1) (b- 1) (t — 1) = [t2 n d 1 4- 2 n d 2 ] — [t2 n d 2 -h 2 n dJ 
