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Tendremos evidentemente 
£ n+1 d t ==-f-l2 a d 1 -f-S I1 d 2 (p) 
2 n+1 d a = -M2 n d 8 -f-2 n d 4 (q) 
Todo divisor de N'=abc st ó contendrá ó no conten- 
drá t. 
1. ° Si no contiene t, dividirá tantos términos en (p) como 
en (q), porque en ambas fórmulas entran las mismas d 4 y las 
mismas d 2 , y por cada una d 4 ó d 2 de (p) habrá otra en (q). 
2. ° Si contiene t, será de la forma td; pero d divide tantas 
d 4 como d 2 por hipótesis, toda vez que d es un divisor del 
primernúmero N: luego tantos divisores de td habrá en t^dj 
de (p) como en tS n d 2 de (q): es decir que td dividirá tantos 
términos de 2 n+1 d, como de 2 n+1 d 2 . Queda, pues, probado 
el teorema en general. 
Podemos generalizar dicho teorema de este modo. 
Sea un número N = a m b n c p g s : su función <p(N) puede 
ponerse bajo esta forma 
cp(N) — a m_I b 11 " 1 cP" 1 ...g s_1 (a— 1) (b — 1) (c — 1) ... (g— 1) 
ó abreviadamente 
<p(N) = N'(a—l) (b — 1) (c — 1) (g— 1 
en que N'= a^V-V 1 g 8 " 1 . 
La última parte (a — 1) b — 1 (c — 1) (g — 1) puede 
descomponerse como en el teorema anterior en dos grupos: 
uno de productos positivos, Sd 4 ; y otro de productos negativos 
Sd 2 ; y tendremos: 
cp (N) == N' (Sd 4 — Zd 2 ) 
ó bien 
cp(N) = SN'dj — S N 7 d 2 . 
Todos los términos parciales N'd 4 y N'd 2 ...., 
serán evidentemente divisores de N; pero no serán la totali- 
dad de los divisores de N, sino dos grupos particulares : esto 
es evidente con solo observar que todos ellos contienen W = 
a m-i ^n-i c p-i gs-i p 0I . j 0 menoS ; suerte que, si el di- 
visor de N contiene a, elevado á una potencia inferior k m — 1, 
ó b, á una potencia inferior á n — ,1 , y así sucesivamente, di- 
