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diendo por él á D quedará bd, que sólo contiene b y d eleva- 
dos á la primera potencia. 
Ahora bien, para que D=B d (siendo d uno de los divisores 
de Sd 4 ó Sd 2 ) divida á N'd 4 ó N'd 2 es preciso, puesto que 3 
divide á N', y agota por decirlo así las máximas potencias de 
a, b, c , que d divida á d 4 ó d 2 : de suerte que la divisibi- 
lidad de D, ó D 2 por D, se reduce á la de á í ó d 2 por d: es 
decir ai primer caso. 
De aquí resulta inmediatamente que D dividirá á tantos 
términos en 2D 4 como en 2D 2 . 
Esta observación sencillísima permite resolver una clase 
de problemas que á primera vista parecen complicados y di- 
fíciles, y á los que podemos dar el nombre de problemas de 
inversión de funciones . 
Uno se refiere á sumas y otro á productos; y, aunque el 
primero sea inútil para nuestro objeto, trataremos de ambos 
por su originalidad y elegancia. 
Problema l.° Supongamos que se demuestra la siguiente 
relación para toda clase de números. 
F(N) = Sf(D): (1) 
N es un número entero cualquiera: 
F (N) y f (D)son funciones de N y D, pero no precisamente 
de las formas ordinarias, sino de mayor grado de generalidad; 
es decir, expresiones cuyo valor y cuya forma dependen de 
N ó D, de suerte que hasta pueden ser índices, subíndices, ó 
números de orden que caractericen la función. En suma F (N) 
y f (D) dependen en valor y en forma de los números N y D: 
D uno cualquiera de los divisores de N, desde 1 á N, ambos 
inclusive; y 2 una suma que se extiende á todas las funciones 
f, caracterizadas por todos los divisores de N, de 1 á N. De 
aquí resulta que las f de 2 pueden ser distintas en la forma: 
basta que cada una corresponda á cada valor de D. 
Ahora bien: el problema consiste en deducir f (N) en fun- 
ción de las distintas funciones F (D). Se trata, pues, de 
algo parecido á una inversión de funciones: así como la F 
está en función de las f, el problema determina la f de N en 
función de las F de D. 
