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Y, como k es entero, 
eos 2bt— 1 , sen2krc=0; 
Tendremos, pues, 
1 — 1=0 
Como la expresión 
2bt , — - 2ku 
x=cos -f-v — 1 sen 
n n 
admite infinitos valores, puesto que k, con tal de ser entero, 
es cantidad indeterminada, parece á primera vista que la 
ecuación x n — 1=0 admite infinitas raíces: lo cual es absurdo. 
Pero puede demostrarse : 
1.® Que dando á k la serie de valores, 
0, 1, 2 n — 1 
ó la 1, 2, 3 n 
se obtienen n valores distintos, que son las n raíces de 
x n — 1=0. 
2 0 Que los nuevos valores que se den á k á partir de n 
reproducen las mismas raíces halladas. 
Ambos teoremas se demuestran con facilidad suma. 
1.® Dando á k dos valores k' y k", inferiores á n, los valo- 
res de x son distintos. 
En efecto: si tuviéramos 
2k'u , — - 2k ti 2k"7r — — 
eos h v — 1 sen -=cos h J — 1, sen 
n n n 
igualando las partes reales é imaginarias, resultaría 
2k"7i 
n ’ 
2k'7t 2k 2k'Tc 2k"Tr 
eos =cos ; sen = sen . 
n n n n 
n a 
Pero dos arcos — - — y — - -, que tienen el mismo seno 
y el mismo coseno , solo pueden diferir por un número entero 
de circunferencias: luego, representando por 1 un número en- 
tero, tendríamos 
2k' 
2k"7t 
■ 2 ! TT 
n 
n 
