ó bien 
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k' — k"=l n: 
resultado absurdo, porque k' y k" son inferiores á n y coto 
más razón su diferencia. 
Puesto que los n valores obtenidos son desiguales, y todo& 
ellos son raíces, claro es que serán las n raíces de x n — 1=0. 
Observación . — Tanto da empezar por 0 como por 1. 
Si lo primero, á k=0 corresponde eos 0-f-sen 0 y/— 1 = 1 
Si lo segundo, á k=n corresponde 
eos 
2i v 
\/ — 1 sen 
2n^ 
eos 2tt -h v/ — 1 sen 2k = 1 
De suerte que toda la diferencia consiste en que la raíz 1 
aparezca al principio ó al fin de la serie de las n raíces. 
2.° Probemos ahora que estas n raíces se repiten cuando 
k sigue creciendo. 
Para ello basta demoslrar que, siendo r un entero inferior 
á n, y 1 un número entero cualquiera, la misma raíz da r que 
r-Mn. 
En efecto, á r corresponde 
2m 
eos f 
n 
V — 1 sen 
2 l'TC 
n 
y á r-f-ln 
eos 
(r-f-ln)TT , — - 2(r-h]n)rc 
—-hv—1 sen — — 
Esta última es igual á 
(cos-^p+2 1 nj-h V — 1 sen +21 
ó, quitando 1 múltiplos de 2 n, á 
2r* j—r 2r?t 
cos^ --f-v — 1 sen : 
n n 
que es precisamente la que corresponde á r. 
Es decir que la raíz no cambia por que se aumente r en 
un múltiplo de n. 
