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Las mismas raíces dan 
k=l, 2, 3, 4, n, 
que 
k — 1-f-n, 2+n, 3+n, 4-f-n 
n+n, 
que 
k— 1+2 n, 2+2 n, 3+2 n, 4+3 n n+2 n, 
y, en general, que 
k— 1+1 n, 2+1 n, 3+1 n, 4+1 n, n+ln, 
El período se repile indefinidamente, y aun se repite para 
calores negativos de ln, pues la demostración subsiste sea 1 
positivo ó negativo. 
Establecido esto, podemos demostrar algunos teoremas 
importantes. 
Teorema 1 .° Toda potencia entera de una raíz de x n — 1 =0 
es también raíz de dicha ecuación. 
Demostración .— De dos modos puede demostrarse: ó acu- 
diendo á la forma trigonométrica de las raíces, ó directa- 
mente. 
1 .° La forma de una raíz es 
2k7i JHU- 2k?t 
eos h v — 1 sen — — 
y su potencia p será 
/ 2k7i / — — 2k^\p 2kp , rt / — - 2kpTc 
( eos — — + v —1 sen eos — -h v — 1 sen — - . 
\ n n / n n 
Pero kp es un número entero que podremos representar 
por k': luego la expresión anterior se reduce á 
2k'Tt / — T 2k'T: 
eos — h v — 1 sen- , 
que es la forma general de las raíces, sea cual fuere k'. 
2.° Puede directamente demostrarse que, si a es raíz de 
x n — 1 — “0, a P lo será también. 
