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En efecto : por ser a raíz tendremos 
a 11 — 1=0; ó a n =l. 
Y, si a P es raíz debe verificarse asimismo que 
(a p ) n — 1=0. 
Pero invirtiendo las potencias resulta (a p ) n — 1 =(a n ) P — 1; 
y como a n =l, tendremos por fin 
(a p ) n — 1 = (a n ) p — 1 =1—1=0: 
con lo cual queda demostrado el teorema. 
Ralees propias . — Hemos demostrado que toda raíz de 
x n — 1=0, elevada á cualquier potencia, da otra raíz, y la 
comprobación de este teorema, ya demostrado, la tenemos en 
la forma general de las raíces. 
En efecto, esta forma es 
x=cos 
2 k TZ /■ T 
h v — 1 sen 
2 kTC 
n 
en la cual debemos dar á k lodos los valores enteros desde 
0 á n— 1, ó desde 1 á n; con lo cual obtendremos las n raí- 
ces de la ecuación. 
Pero esta expresión puede escribirse también de este modo 
(por el teorema de Moivre) : 
x=cos 
2kiz 
j — t ( 2k / — - 27i\n 
v — 1 sen =( eos f-v— 1 sen — ) • 
n \ n n / 
r — - , , , . 
y como eos — -f-v— 1 sen— — es una de las raíces, la que 
corresponde á k=l, resulta que elevando 
/ — - 
eos f-v — 1 sen 
n 
II 
á todas las potencias, desde 0 á n— 1 (ó desde 1 á n), se ob- 
tienen todas las raíces de x n — 1=0. 
Si, para abreviar, representamos por r este valor particular 
