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eos — — f- v/ — 1 sen — , las raíces de la ecuación binomia, y 
n v n J 
todas ellas, serán 
ó bien 
1, r, r 2 , r 3 r n 1 : 
r, r 2 , r 3 r n ”\ r n =l 
que es la misma serie pasando la unidad al íin. 
Pero aquí es de la mayor importancia dividir todas las 
raíces de x n — 1=0 en dos grupos distintos. Cualquiera raíz 
elevada á una potencia da otra raíz, es cierto; pero unas raí- 
ces , al elevarlas á potencias, dan todas las raíces de x n — 1=0: 
como sucede, según hemos demostrado, con 
eos 
2tt / — - 
f— v — 1 sen 
n 
mientras que otras , al elevarlas á potencias sucesivas, dan al- 
gunas raíces de x n — 1, pero no todas: como si girasen, por 
decirlo así, en un círculo más estrecho, repitiendo constan- 
temente unas cuantas raíces de la ecuación , sin producir 
nunca las demás. 
A las primeras , que son las más importantes, se les da el 
nombre de raíces propias de la ecuación x 11 — 1=0, ó abre- 
viadamente del exponente n. 
Y á las segundas se les podría llamar, con más ó menos 
exactitud, raíces impropias. 
A las raíces propias del exponente n otros autores las de- 
signan con esta frase: raíces que pertenecen al exponente n. 
A veces también se les llama raíces primitivas de n : aun- 
que por lo regular la denominación de raíces primitivas se 
reserva para un caso particular del exponenle n, como luego 
diremos. 
En resumen: toda raíz de x n — 1 — 0 que, elevada á las pe- 
tencias 1, 2, 3... n, produce todas las n raíces de dicha ecua- 
ción, se llama raíz propia de la ecuación x n — 1=0; ó raíz- 
propia del exponente n (dado n, la ecuación x n — 1=0 también 
está dada); ó raíz que pertenece al exponente n; ó raíz pri- 
mitiva de x n — 1=0, ó del exponente n. 
