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Observación. — En toda esta teoría venimos afirmando que 
las n raíces de x n — 1=0 son distintas, es decir, que esta 
ecuación no tiene raíces iguales; y, en efecto, la derivada 
nx 11-1 de x n — 1=0 no divide á esta expresión, ni entre am- 
bas existe un máximo común divisor. Lo cual es evidente: 
porque todo factor x de x n_1 divide á x n (en x n — 1) y no di- 
vide á 1: luego no divide á x n — 1. 
Hecha la clasificación de las raíces de x n — 1=0 en pro- 
pias é impropias, fácilmente se observa que, las raíces que 
más importancia tendrán serán las raíces propias, porque 
conocer una sola es conocer todas las raíces de la ecuación, 
bastando para ello elevar ésta á las potencias 1, 2, 3... n; al 
paso que, conociendo una raíz impropia, sólo puede conocer- 
se un grupo, aquel á que pertenece, de las raíces de x n — 1 =0. 
Pero, dada una raíz propia, a, no sólo pueden conocerse 
todas las raíces de la ecuación por la serie de potencias 
a, a 2 , a 5 , a 4 a n ; 
sino que pueden obtenerse separadamente las raíces propias 
y las impropias. 
En efecto, vamos á demostrar el siguiente 
Teorema 2.° Dada una raíz propia, a, de una ecuación 
x n — 1 =0 (ó si se quiere emplear una frase más breve, dada 
una raíz propia del número n) se obtienen también raíces pro- 
pias elevando la a á las potencias indicadas por todos los 
números primos con n é inferiores á n. 
Demostración. — Sea e un número inferior á n y primo con 
n; y vamos á demostrar que a e es una raíz propia de 
x n — 1=0. 
Basta para ello demostrar que elevando a e á todas las po- 
tencias 1, 2, 3... n se obtienen todas las raíces, porque esta 
es la propiedad característica de las raíces propias. Y, en 
efecto, cualquier potencia de a e , como por ejemplo, (a e ) P , es 
raíz de x n — 1=0, porque (a e ) p =a ep es una potencia e p de a; 
y además su número, de i á n, es n: luego basta probar que 
aquellas potencias son desiguales para demostrar que están 
todas y que a e es raíz propia de n. 
