93 
Pero, en efecto, dos potencias (a e ) p y (a e ) g (siendo p y q 
inferiores á n, pues ya sabemos que las potencias superiores 
á este número n se reducen á potencias menores) no pueden 
ser iguales. 
Para que tuviésemos 
(a e ) p — (a e ) q 
sería preciso que fuese 
a ep ==a eq . 
Y, una de dos: 
1. ® Si ep y eq son inferiores á n, la igualdad es imposible: 
porque, siendo a raíz propia, engendra todas las raíces de 
x n — 1=0, y dos potencias de a, inferiores á n, no pueden 
ser iguales. 
2. ° Si una de ambas ó las dos cantidades ep y eq son su- 
periores á n, para que se verifique la igualdad será preciso 
que ep y eq difieran en un múltiplo de n: tendremos, pues 
la condición 
e p — e q=l n 
siendo 1 un entero. De donde 
1 n 
p-q= T 
Mas, por hipótesis, e es primo con n; luego divide á 1, porque 
— , igual á p — q, es un número entero, 
e 
Llamando Y al cociente de I por e, tendremos 
p — q=l'n: 
resultado absurdo, porque p y q son inferiores á n, y su dife- 
rencia no puede ser un múltiplo de dicho número n. 
De aquí se deduce otro teorema que determina el número 
de raíces propias. 
Teorema 3.° El número de raíces propias de x n — 1=0 es 
igual á <p (n), es decir, al número de números primos con n é 
inferiores á n. 
Demostración . — Hemos demostrado que, dada una raíz pro- 
