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pia, basta elevarla á todas las potencias 1, e, e', e", de 
los números primos con n é inferiores á éste, para obtener 
otras tantas raíces propias; pero ocurre esta duda: ¿habrá 
alguna otra raíz propia además de a, a e , a e \ a e "... ? ó de otro 
modo: ¿si e no es primo con n, a e no podría ser raíz propia? 
No podrá serlo y vamos á demostrarlo. Basta para ello 
observar que para valores p, q, inferiores á n y conveniente- 
mente determinados, puede obtenerse 
(a c ) p =(a e ) q ó bien a e e=a eq . 
En efecto, la igualdad queda satisfecha si e p y e q difieren 
en un múltiplo de n: porque, si ep — eq=ln, tendremos 
aeq+ln^eq. a ln =1; ( a n)l_ 1; 1=1 . 
Pero, no siendo e primo con n, siempre puede satisfacer- 
se á la igualdad 
e p — e q =1 n 
con valores enteros de p y q, inferiores á n. 
En efecto, sean d el máximo común divisor de e y n, y e' y 
e n 
n r los cocientes -j-= e', -g- = n', siendo evidentemente n' <n. 
Tendremos, dividiendo por d: 
e e 1 n 
ó bien 
y, por lo tanto, 
Pero n' y e r son primos entre sí, porque á e y n se les ha 
quitado el mayor factor común: luego e', que divide exacta- 
mente á ln r , debe dividir á 1; y, llamando T al cociente, ten- 
dremos 
P q — 1' n': 
ecuación que siempre es posible y en general de varios 
modos. 
Suponiendo, por ejemplo, T= 1, se deduce que p— q— n': 
e' p — e' q = ln' 
ln 
p-q = - 
