95 
y, como p y q son inferiores á n, habrá varios números que 
satisfagan á esta condición, y cuya diferencia sea un número 
entero n' menor también que n, como se comprueba fácil- 
mente. 
De aquí resulta que, si a es una raíz propia de x n — 1=0, 
todas las potencias cuyos exponentes 1, e, e\ e",.~ sean in- 
feriores á n y primos con él serán raíces propias; que, si se 
eleva á algún otro exponente que no sea primo con n, la raíz 
será impropia ; y que, por la definición de raíz propia , todas 
las raíces a, a e , a e \ a e "... serán distintas. 
La consecuencia final de este análisis es que se obtienen 
las raíces propias de x n — 1=0, y no mas que las raíces pro- 
pias, elevando una de ellas, a, á potencias representadas por 
todos los números enteros 1, e, e\ e" ... inferiores á n y pri- 
mos con él. Pero ya sabemos que el número de cantidades 
1, e, e\ e" ... es (n): luego el número de raíces propias de 
n es © (n), según queríamos demostrar; y el de raíces im- 
propias será el restante: n — © (n). 
Caso particular. Si n es número primo absoluto, ©(n)=n — 1 : 
luego el número de raices de un número primo n es n— 1: es 
decir, todas menos la unidad. 
Observación. Todas estas propiedades se demuestran del 
mismo modo partiendo de la fórmula trigonométrica 
2krc 2kTT 
x = cos h sen y — 1 , 
n n 
y también por otro método que indicaremos en breve. 
Batees primitivas. Guando el exponente de la ecuación bi- 
nomia es de la forma ©(n), es decir cuando la ecuación bino- 
cp( n ) 
mía es x — 1 =0, las raíces propias toman el nombre de 
raíces primitivas del número n: de suerte que las raíces pri- 
mitivas de n son las raíces propias de una clase particular de 
ecuaciones binomias. 
Como para el objeto concreto de que nos ocupamos las 
raíces primitivas no tiene aplicación, no insistiremos en su 
estudio, indicando tan solo que les pertenecen todas las pro- 
piedades de las raíces propias. 
De la propiedad fundamental de las raíces propias , ó, me- 
