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jor dicho, de su definición se deduce esta otra propiedad im- 
portante. 
Teorema 3.° Toda raíz propia, a, deuna ecuación x n — 1 = 0, 
elevada á una potencia comprendida entre 0 y n, no puede 
nunca ser igual á 1. 
Demostración. Decimos, comprendida entre 0 y n, porque 
a°=l y a n =l: de suerte que el exponente á que se refiere el 
teorema debe pertenecer á la serie 2, 3, ... n — 1 
En efecto, si 
a p = l, 
siendo p uno de los números 2, 3, 4, ... n — 1, multiplicando 
por a tendremos 
a p+1 = a: 
resultado absurdo, porque entre 0 y n dos potencias de a no 
pueden ser iguales, puesto que a es raíz propia y engendra 
por sus potencias 1, 2, 3,.. n todas las raíces de x n — 1 = 0 
que son desiguales. 
Aun en el caso de ser p = n — 1, tendríamos el absurdo 
a n-i + i __ a; es decir, a" = a =1. 
Esta propiedad, como veremos más adelante, hubiera po- 
dido servir de base para la teoría de las raíces propias. 
Del factor que comprende todas las raíces propias de una 
ecuación binomia. Hemos dicho que, dada una ecuación bino- 
mia x n — 1 = 0, sus raíces pueden dividirse en dos grupos: 
raíces propias y raíces impropias . Si designamos las raíces 
propias por 
a 4 . a 2 , a 5 
y las raíces impropias por 
b 2 , b 5 
a 
<f(n) 
b 
n— cp(n) 
en cuyas series los últimos subíndices indican el número de 
unas y otras, la ecuación binomia, descompuesta en sus facto- 
res simples, dará 
x n — 1 = (x — aj (x — a 2 )(x — a 3 ) ... (x — a ) X 
<p(n) 
(x — b A ) (x — — b 2 ) (x — b 5 ) ... (x-b ) 
n — <p(n)/ 
