97 
Y, representando por f p (x) y f¡(x) los productos ó polinomios 
de ambos grupos, es decir el grupo de binomios correspon- 
dientes á las raíces propias 
(x — aj (x— a 2 ) (x — a 3 ) ... (x-a ) 
cp(n)' 
por f p (x) (con el subíndice p que quiere decir raíces propias), 
y el grupo de los binomios correspondientes á las raíces im- 
propias 
(x-b,) (x— b. 2 ) (x - b 3 ) ...(x-b n _ T(n) j 
por f 4 (x) (con el subíndice i , inicial de las raíces impropias), 
tendremos 
x 11 1 — fp(x) fi(x). 
Ahora se presenta este problema: 
Problema. Dada la ecuación x n — 1=0, determinar el 
factor f p (x) que contenga todos los binomios x — a de las raí- 
ces propias, sin determinar directamente ninguna de ellas. 
(En vez de f p (x) pondremos f n (x) para recordar que se trata 
de las raíces propias de n). 
Resolución. Sea x 11 — 1 = 0 la ecuación dada; y sean 
1, D, D', D" ... n 
todos los divisores simples y compuestos de n, desde 1 al 
mismo número n. 
Supongamos que se determinan: la raíz propia de 
x 1 — 1 = 0, que será 1; las raíces propias de x D — 1 = 0, que 
llamaremos 
cuyo número sabemos que es <p (D); las raíces propias de 
D' 
x — 1 = 0, que llamaremos 
a' a a'" a 'f< D ') 
a D '> a D ,, a D / í? ... a D >, ? 
D" 
cuyo número es cp (D r ); las raíces propias de x — 1 = 0, que 
llamaremos 
a' a" a'" a*< D "> 
d D"’ a D"’ a D'"’ •“ a D'' ’ 
