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cuyo número es cp(D'); y así sucesivamente para todos los di- 
visores de n, hasta las raíces propias de n ó de x n — 1, que 
llamaremos 
a , a , a 
n n n 
a T(n) 
n i 
cuyo número es <p(n): y vamos á demostrar ahora que todas 
estas raíces 
1, a 
D’ d D 
D'’ d D'’ 
l D"’ d D" 
(a) 
son las n raíces de la ecuación x n — 1 = 0. 
En primer lugar todas ellas son raíces de x n — 1 =0. En 
efecto, tomemos una cualquiera que supondremos que perte- 
Ty, 
nece á x — 1=0, y que para abreviar llamaremos r. 
Puesto que es raíz de x D —1=0, tendremos r D =1; pero 
! D" es un divisor de n, de modo que -^=1, siendo 1 entero. 
Pues elevando r D = 1 á 1 tendremos r D J =l t ó r D 1 — 1=0, 
■ó rP — 1 = 0. Donde se ve que r es raíz de la propuesta 
x n — 1 = 0. 
Son, pues, raíces de x n — 1 =0 todas las cantidades (a). 
Veamos en segundo lugar cuál es su número. 
El número de las a D es cp(D); el de las a D ,, es<p (D')’< y así 
■sucesivamente: luego el número total de las raíces (a) será 
1 -f-<p(D) -f-cp(D') -h cp(D') h- ... -f- cp(n). 
Pero esta cantidad hemos visto que es igual á n: por lo tanto 
las raíces (a) son en número n: de suerte que, si son desigua- 
les, serán precisamente las n raíces de x n — 1 = 0. 
Pero es fácil ver, en tercer lugar, que esto se verifica. En 
efecto: 
Las a D , ó a D /, ó a D „ de cada grupo son desiguales 
entre sí, porque las raíces propias de una ecuación binomia 
lo son. 
Y además las de un grupo son distintas de las de otro. 
Porque si así no fuese, y, por ejemplo, tuviésemos 
a D" — a D"' 
