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suponiendo D'"> D", elevando á D" nos resultaría que 
Pero a D r, es una raíz de x —1=0: luego 
resultado absurdo, porque hemos visto que una raíz propia 
a D n, de x D " — 1 = 0, elevada á una potencia D" < D"', no 
puede dar por resultado la unidad. 
De suerte que, si las cantidades (a) son todas ellas raíces 
de x n — 1 = 0, si son en número n, y si además son distintas, 
claro es que constituyen las n raíces desiguales de dicha ecua- 
ción y que podremos escribir: 
x n — - 1 = (x — 1) (X— a' D ) (x — a^) ... (x-a^,) (x — a^,)... 
... (x — a^») (x — a'¿„) ... (x a^) (x— a') ... 
Cada grupo, correspondiente á 1, D, D', .. n, es el produc- 
to de las raíces propias de las ecuaciones 
x— 1 = 0, x D — 1 = 0, x D ’ — 1=0, x D '-l=0...x n — 1=0, 
luego, si representamos, en general, porf p (x) el producto de los 
factores de primer grado de las raíces propias de x p — 1 = 0: 
tendremos 
x n — 1 =f 1 (x).f D (x) . f D ,(x) .f D „(x) ...f n (x): 
ó, empleando el signo II para expresar un producto, 
x 11 — l=nf D (x) 
extendiéndose II á todos los factores f(x), correspondientes á 
todos los divisores de n , desde 1 kn, ambos inclusive. 
Esta expresión es análoga á la del 2. ü problema de la in- 
versión de funciones; y, aplicando la fórmula de dicha inver- 
sión, tendremos 
(x) 
