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representando f n (x) el factor que comprende todos los bino- 
mios de las raíces propias de x 11 — 1 = 0, que es precisamen- 
te el que buscamos; siendo además la forma general de F 
F p (x) =xP— 1; 
y extendiéndose la IIF^ (x) á todas las funciones F para los 
divisores D 1 de n, y la üF n (x) á todas las funciones F para 
los diviso es D 2 de n. 
Debe recordarse que D t y D 2 significan los divisores con 
signo -t y signo — en 
2D,— £D 2 . 
El problema de la determinación del factor f n (x) de x n — 1 =0, 
que contiene todas las raíces propias, queda con esto plena- 
mente resuelto por un método de gran generalidad y de indis- 
cutible elegancia. 
Casos particulares. l.° Supongamos que n es de la forma 
p*: siendo p un número primo, y n un entero cualquiera. 
Ante todo debemos determinar las D t y las D 2 
La fórmula 
cp(N) = a m_1 b n_1 cp- 1 ... (a — I) (b — 1) (c — 1) ... 
da en este caso 
cp (n) = p 77-1 (p — 1) = p 77 — p 77- ' 1 . 
Luego no hay más que una d 4 que es p, y una d 2 que es 1; 
y por lo tanto una 
D, = p’ 1-1 . p = p x 
y una 
D s = p 71 - 1 . 1 = ¡> T — 1 
De aqui resulta que en la fórmula 
IIF ( X ) 
fn(x) “HF* (x) 
cada II solo tendrá un factor, á saber : 
IIF n (x) — n(x D| — 1) = x p -l 
