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más rapidez, y casi intuitivamente, por otro método que vamos 
á indicar. Pero antes presentaremos la teoría de las raices pro- 
pias bajo otra forma importantísima. 
Teorema l.° Toda raíz propia de una ecuación x n — 1 = 0 
no puede ser raíz de una ecuación binomia x n ^ — 1 = 0, cuyo 
grado sea inferior al de la propuesta, es decir en que se tenga 
n' < n. 
Demostración. En efecto, si a fuese una raíz propia de 
x n — 1 = 0 
y se tuviese 
a 51 ' -1 = 0 ó a n ' = 1 , 
multiplicando por a tendríamos a n+1 = a: resultado absurdo, 
porque n' -h 1 <n en general, y dos potencias de a, la 1 y 
la n'-f-l, comprendidas entre 0 y n, no pueden ser iguales, 
puesto que a es raíz propia. 
Aun en el caso extremo de ser n r = n — 1 ó n'-f- 1 = n 
resultaría este absurdo 
a n+1 = a n =l : 
porque tendríamos 
a — 1. 
Esta demostración es la misma que ya dimos anterior- 
mente y podía excusarse diciendo que ninguna raíz propia, 
elevada á una potencia comprendida entre 0 y n, puede dar la 
unidad. 
Teorema 2.° Toda raíz impropia de x n — 1 = 0 es raíz de 
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una ecuación, por lo menos, x n — 1 = 0, si n'<n. 
Demostración. Puesto que a es raíz impropia dex n — 1=0 
y su carácter es que dos potencias de a, cuyos exponentes 
estén comprendidos entre 0 y n, han de ser iguales, tendre- 
mos a p = a q siendo p y q inferiores á n. 
Si suponemos q <p y dividimos por a q los dos miembros 
de la igualdad anterior, resultará 
a p - q = 1 ó a p ~ q — 1 - 0 
