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Pero p < n y q < o; luego p — q < n: con lo cual resul- 
ta demostrado el teorema. 
Teorema 3.° En el caso anterior a es raíz de una ecuación 
x m — 1 = 0 
cuyo exponente m no sólo es inferior á n, sino divisor exacto 
de n. 
Demostración. Puesto que a es raíz de x 11 -— 1 = 0, ten- 
dremos, 
a n = 1 
Y, puesto que a es raíz impropia, según el teorema anterior 
será raíz de una ecuación a n — 1 — 0, siendo i Y <n: es decir 
a n ' = 1. 
Dividamos n por n': si la división es exacta, el teorema 
queda demostrado; y si no lo fuere resultaría 
n = ln'-f- n", 
siendo 1 el cociente y n" el resto, que será <n'. 
En este último caso podremos escribir 
a n =l y a n ' = 1 
bajo esta forma: 
a lB/+n" = X y a ln' = l 9 
sustituyendo para ello por n su valor en la primera, y ele- 
vando á 1 la segunda. Y, por la división de una por otra, se 
concluye que 
«jln'+n" 
— -y — =1, ó bien a n " = 1. 
a 
Siguiendo el mismo método, podremos dividir n' por n"; 
y, suponiendo que la división da V por cociente y n"' por resto, 
llegaremos á a n = 1: y así sucesivamente. 
Ahora bien: hemos dividido n por n' 
n' por el resto anterior n" 
n"por el resto n'" 
