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y, una de dos: ó n y n f tienen un máximo común divisor, m, 
ó son primos. Si lo primero, tendremos a m = 1 : donde se ve 
que a' es raíz de x m = 1, siendo m divisor de n, puesto que 
es máximo común divisor de n y n\ y el teorema queda de- 
mostrado. 
Si lo segundo, el último resto será 1 y tendremos a 1 = 1 , 
que también está comprendido como caso particular en ei 
teorema, puesto que 1 divide á n. 
Consecuencia de los teoremas anteriores para las raíces 
impropias k en el caso í/en = p 7T . — Puesto que toda raíz impro- 
pia, a, es raíz de una ecuación x m =l, siendo m divisor de p TC , 
habrá de ser m de la forma p TC , (-' <71), y tendremos: 
y, elevando á 
P 
— — 1 
ó bien 
y por último 
luego todas las raíces impropias son raíces de 
Pero ¿habrá alguna otra raíz en la ecuación precedente? 
Para averiguarlo veamos cuál es el número de raíces im- 
TC 
propias de x p — 1 = 0. 
El número total de raíces en este caso es p^ . 
El de raíces propias es 
íip") = p x (p — i) = — p~ 
1 
