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Luego el de raíces impropias será 
TT , TC TC L TC 1 
P ~(P — P )=P : 
precisamente el grado de la ecuación 
7T 1 
— 1 = 0 . 
TC-1 
Resumiendo: todas las raíces impropias están en x p — 1 
=0; su número es p ; y son desiguales, pues desiguales son 
TC ■ — 1 
las raíces de x n — 1 = 0: luego precisamente x p —1 = 0 
es el factor correspondiente á las raíces impropias, las con- 
tiene todas, y no contiene ninguna más. 
De aquí resulla como consecuencia final que, dividiendo 
p i r 
x — 1 por x 
_TC — 1 
— 1, se tendrá el factor de las raíces 
propias: es decir que en el caso n 
, /x x P -l 
f »W = .u-1 
— 1 
resultado idéntico al que obtuvimos por el método de la in- 
versión, pero con mucha más rapidez ahora. 
Sólo hemos expuesto de estas diversas teorías lo pura- 
mente preciso para la cabal inteligencia de la nota de Wantzel: 
quien desee profundizarlas puede, repetimos, consultar los 
tratados clásicos de Gauss, el Algebra superior de Serret, y 
la obra citada de Dedekin : ó la de D. Eulogio Jiménez, en 
la cual con gran acierto, aunque con excesiva concisión á ve- 
ces, se hallan condensados ios fundamentos de la Teoría de 
los Números. 
DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN PARTES IGUALES. 
Supongamos que se pretende dividir una circunferencia en 
n partes iguales. 
Desde luego puede simplificarse el teorema si n es un nú- 
mero compuesto. 
