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Ahora bien: si a es una raíz propia de x p — 1=0, las po- 
tencias 
a S Y 
a, a , a r , a ... 
representando a, ¡3, y ... los números primos con p u , é infe- 
riores al mismo, serán precisamente la totalidad de las raíces 
de X == 0 (que es la ecuación que contiene todas las raíces 
propias); y para que X se reduzca á cero será preciso que uno 
de sus factores, cp ó W, se reduzca á cero. Resulta, pues, que 
algunas de estas raíces anularán á <p(x); y, sustituyéndolas to- 
das en cp (x), en el producto 
* <p(a) • ?(a a ) . cp(a^) . < f (a' 1 ’) ... 
uno ó varios factores serán nulos de modo que tendremos 
<p (a) . «p (a“) ?(a P ) . <p (a 7 ) ... = 0. 
Lo que hemos dicho para la raíz propia a puede repetirse 
para todas las demas raíces a', a" ... : luego la ecuación 
cp(x) . cp (x a ) cp(x^) <p(x T ) ... = 0 
se anula por a, a', a" ..., es decir por todas las raíces de X^O: 
lo cual significa que dicha ecuación contiene áX como factor. 
Tendremos, pues, 
cp(x) <p(x a ) cp(x^) cp(x T ) ... = X. C (x) 
representando por C (x) el polinomio entero que resulta de 
dividir cp (x) cp(x a ) cp (x^)... por X 
Haciendo en esta identidad x = 1, tendremos: 
[? (l)f <P * = P • C(l), ó bien 1 = p C (1) : 
puesto que el número de factores cp (1) es el de números primos 
con p^ inferiores á él aunque esto nada importa, porque 
cp (1) = dt 1; y porque X, para x = 1, se reduce como hemos 
visto á p: además C (1) es número entero que no puede ser 
cero , pues entonces tendríamos 1 = 0. 
