VARIEDADES 
Tí ota sobre un punto importante, referente á la teoría 
elemental de las fracciones continuas. — Tan breve y sencilla 
como es la demostración del teorema de que « cualquier fracción 
continua periódica, pura ó mixta, representa necesariamente el valor 
numérico, indefinidamente aproximado á la verdad, de una raíz de 2.° 
grado», tan larga y fastidiosa es la demostración del teorema inverso, 
según el cual «las raíces reales de cualquier ecuación de 2.° grado 
pueden expresarse por medio de fracciones continuas periódicas, 
de una ú otra especie.» Tanto, que muy contados son los tratados 
de Álgebra elemental, como el de Leíebure de Fourcv, en que á la 
demostración de este teorema , propuesta por el célebre Lagrange, 
suele, modificada en los detalles, darse cabida: quedando por ello 
como defectuosa ó manca la importante teoría de las fracciones 
continuas. De hoy en adelante, sin embargo, no debe suceder lo 
mismo, merced á la sutileza de ingenio desplegada por el matemá- 
tico francés Hermite para abreviar y simplificar, sin alteración sus- 
tancial en el fondo, el complicado y penoso razonamiento de aquel 
su ilustre predecesor mencionado. 
La demostración de Hermite, publicada en el Boletín de las Cien- 
cias Matemáticas de los Sres. Darboux, Hoüel y Tannery, corres- 
pondiente al mes de Enero de 1886, dice, con leves variantes de for- 
ma y algo mayor amplitud en la frase, como sigue: 
Supongamos que la ecuación de 2.° grado 
Aíp 2 +2Bíp + G = 0 
posee dos raíces reales, 'positiva una, a , y otra, 5, positiva ó negativa; 
que la a, por los procedimientos ordinarios del Álgebra, se ha ex- 
presado en fracción continua, formada por los cocientes incompletos 
a 0 , a if a 2 a n _ i , a , a n , a n ^ l ; y que las reducidas correspon- 
dientes á los cocientes a n —i y a n sean y — — . Si por \ repre- 
Qn— i Qn 
sentamos la porción total de fracción continua, que comienza por 
a n + í , sabido es que la raíz a podrá representarse de este modo: 
^ Pn ^ ~+~ Pn— i 
Qn ^ "+■ Qn— i 
