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dones como G^ 2 + ...==Q, que siempre poseen una raíz positiva y 
superior á la unidad , concluirán, á contar de cierta reducida en ade- 
lante, ó desde que Q n sea de cierta cuantía, creciente conforme n 
aumenta, por poseer todas también una raíz negativa , y, en valor 
absoluto, menor que la unidad: para lo cual es menester que, desde 
el indicado punto, ó momento, en adelante, los coeficientes G y K 
sean siempre de signos contrarios, y el H del mismo signo que K.— 
Si suponemos, en efecto, que el G sea positivo, para que la ecua- 
ción á que corresponde tenga sus dos raíces reales, positiva una, y 
otra negativa, menester es que el K sea negativo. Y aun entonces, 
porque la raíz positiva ha de ser mayor que la unidad, deberá veri- 
ficarse esta condición: \/ H' ¿ h- G K > H G, si fuere positivo el EL 
Pero en este nuevo supuesto, y mediante la condición que envuel- 
ve por referencia á la raíz positiva, la negativa resultaría, en valor 
absoluto, mayor que la unidad asimismo. Luego los signos de H y 
K deben ser del mismo nombre. 
Y como H* — G K es un binomio de valor constante (=B 2 — A C), 
y compuesto de términos esencialmente positivos, conclúyese, de 
todo lo expuesto, que los valores de los números enteros G, H y K 
han de apurarse necesariamente, después de un número finito de 
combinaciones, generadoras de aquel resultado constante. Y donde 
comience la reproducción simultánea de estos tres coeficientes, 
principiará la de los valores de X, ó la periodicidad de la fracción 
continua, que expresa el valor de la raíz a, cuya existencia se tra- 
taba de demostrar. 
Aunque no tan interesante como el teorema de Lagrange, de- 
mostrado por Hermite, es lo mucho otro, con él muy de cerca rela- 
cionado, y del cual, aunque nada nuevo, se trata también en el 
mismo número del Boletín de Ciencias Matemáticas , antes mencio- 
nado, atribuyendo la demostración, por extremo concisa que allí se 
apunta, al célebre Galois. El teorema es este: 
«Si una raíz real de 2.° grado puede expresarse en fracción con- 
tinua, inmediatamente periódica ó pura , el valor recíproco de la ne- 
gativa, tomado positivamente, lo será por otra fracción de la misma 
especie, formada por los mismos cocientes incompletos que la pri- 
mera, considerados en orden inverso.» 
A título de lema, muy curioso, comencemos por advertir ó re- 
cordar que si ¿o, a i , a. 1 ... « w _ 2 , ÉÉ_ 1} y a n designan los cocientes 
incompletos, constitutivos de una fracción continua, finita ó limi- 
tada, las reducidas correspondientes podrán representarse de este 
modo: 
Pj a j 1 . lL>_ P f flp-f- P 0 . P» Bw— r»n-t-Pw-Á 
Qo 1 ’’ Qi (h * Q 2 ~Q, «a-t-Qo’ “ Qn Qn-i(hi-t-Qn -2 
