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2. Pues, en consecuencia de este teorema, de las dos fórmulas, 
relativamente vulgares, y muy usadas en las transformaciones trigo- 
nométricas: 
/ti . „ ~ . A B C 
(I) éen A -+- sen i? + sen C = 4cos cos-^-, eos -g-, y 
(II) ..... t gA H-tg^-h tg C — tg . IgB. tg6 Y , 
poniendo en ellas, sucesivamente, por A, B y C, los complementos 
y suplementos mencionados, se desprenden en el acto y sin la menor 
dificultad las que siguen : 
(III) .. . cos^ 1 +cos^-+-cos-|-=4 cos^45° — ^jcos^45° — ^jcos^45° — ^ 
A B C A B C 
(IV) cotg g--i-cotg-2- + cotg — = cotg-^-. cotg-g-. cotg-g 
(Y) sen 2A + sen 2 B -+- sen 2C = 4 sen A . sen B. sen C 
(YI) tg 2.4 -+- tg 2B -+- tg 2(7 = tg 2^4 . tg 2B . tg 2 C. 
La fórmula (IY) puede también deducirse directamente, por pro- 
cedimiento que no carece de interés. 
En efecto: puesto que A + 2? -+- C= 180°, resulta desde luego que 
De donde se deduce esta otra muy curiosa y elegante relación: 
tg ~2- tg + tg -g-. tg -g-+ tg -y . tg-g-= 1. 
De la cual se desprende la (IY) dividiendo sus dos miembros por 
el producto 
tg 2 * tg 2 ' tg 2 * 
Y también es de advertir que, como se ha pasado de la (II) á la 
(YI), así, por sustituciones sucesivas, análogas á la primera, se lle- 
garía á deducir la siguiente, muy notable: 
tg 2 n A + tg 2 n B + tg 2 n C = tg 2 n A x tg 2 n B x tg 2 n C. 
De ampliación, ó generalización, parecida son asimismo sus- 
ceptibles las demás fórmulas. 
3. Por análogo procedimiento que la relación fundamental (I), 
se deduce ó comprueba esta otra, en la forma muy semejante: 
sen B -+- sen C — sen A — 4 sen sen -~r. eos 
(Vil) 
