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Para ello basta sustituir por los dos términos del primer miembro 
el producto 
2 sen Va [B + C) eos l / 2 (B—C); 
y por el tercero, 
sen A = sen */* ■+■ <?), 
el producto también 
2 sen V 2 {B 4- C) eos */ a (i? 4- (7): 
con lo cual el primer miembro tomará la forma 
2 eos eos Va (5— C)— eos Va (£ + C) j=4 eos A*, sen sen y. 
Pues de la (VII), así obtenida ó demostrada, por aplicación del 
teorema enunciado al principio, se concluyen estas otras: 
(VIII)... cos^+cos~cos-^-=4sen|45 0 — jjsen ^45°--^Jcos^45°-jj 
(IX) sen 2 B 4- sen 2 C — sen 2A = 4 eos B. eos C. sen A . 
4. De las sencillas transformaciones trigonométricas, que á conti- 
nuación se indican, 
sen 2 A 
2send. . eos A . eos B eos C 
tg B 4- tg c 
dedúcese que 
sen 2/t 
(X) 
sen {B 4- C) 
sen 2 B 
=2 eos i. eos i?, cose , 
sen 2C 
=2cos^l.cosi?.cos(7. 
(XI) 
tg B + tg C tg A 4 - tg C tg A 4 - tg B 
Por el mismo procedimiento se hallaría también que 
sen 2 A sen 2 B sen 2C 1 
1 — cotg 2? cotg C 1 — cotg 2L cotg C 1 — cotg . cotg i? 
= 2 sen A. sen B. sen C. 
Y, por división de las (XI) por las (X), se concluiría finalmente 
que 
(XII) 
\%A.+ igB tgA-htgC ^ tg#4-tgc 
1—cotg^. cotg B 1— cotg A. cotg c 1— cotg i? cotg C 
= tg . tg B. tg C. 
Expresiones las últimas equivalentes á la sencillísima (II). 
