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Entre las líneas de fuerza y las superficies equipotenciales 
ó de nivel existe una relación geométrica notable: las líneas de 
fuerza cortan normalmente á las superficies de nivel: son tra- 
yectorias ortogonales de estas. 
En efecto: tomemos un punto a (x, y, z ) en una superficie 
de nivel Y — G: y sobre esta superficie un punto infinitamen- 
te próximo a' cuyas coordenadas serán 
x -f- dx, y ~h dy , z 4- dz. 
Las cantidades dx , dy , dz satisfarán á la diferencial de V=C, 
y tendremos, puesto que C es una constante: 
dV 
dx 
J dY 7 
dx -h dy "I" 
dY 
dz 
ó, representando por F la fuerza eléctrica en a, dividiendo por 
F ds y cambiando signos: 
dV dV dY 
dx dx dy dy dz dz 
i d ¡_ . — 0. (1) 
F ds F ds ^ F ds { } 
Pero 
dV 
dx 
dV 
dz 
son los cosenos de la fuerza eléctrica del sistema S, ó de la tan- 
gente F"F"en (r, y , z) á la línea de fuerza, con los ejes coorde- 
_ dx dy dz ... ti, 
nados: y -r-, -f-, -7- son asimismo los cosenos de la tan- 
J ds 9 ds ’ ds 
gente aa' á una línea cualquiera trazada en la superficie Y =C: 
luego ambas líneas, según la relación (1) y en virtud de un 
teorema bien conocido de analítica, resultan perpendiculares: 
por lo tanto las líneas de fuerza cortan normalmente á las 
superficies de nivel, toda vez que la dirección de (dx, dy, dz), 
es decir de aa r en el plano tangente, es arbitraria. 
TOMO XXII. 16 
