VARIEDADES 
Sobre la resolución en números enteros de la ecuación 
indeterminada de primer grado ax-+-by — c. 
La ecuación de que se trata sólo admite soluciones enteras 
cuando los coeficientes a y b son números primos entre sí : lo cual 
es de suyo casi evidente. Guando aquellos coeficientes satisfacen á 
esta condición, necesariamente existe un par de valores enteros 
conjugados, de xéy, que también satisfacen á la ecuación pro- 
puesta. Y desde el momento en que un par de valores, x 0 é y 0 , de 
esta especie es conocido, ó en que se ha encontrado una solución 
particular de la ecuación de que tratamos, todas las demás solu- 
ciones, ó valores conjugados, x n é y n , de x é y, forman dos progre- 
siones por diferencia, cuyos términos generales son estos: 
x n —x 0 — nb 
!/n = ?o + M. 
La primera proposición, por su sencillez, casi no necesita demos- 
trarse, conforme ya antes se dijo. 
La segunda, muy importante, se demuestra habitualmente como 
sigue 
Si ax by=c, resulta que 
a 
Demos á y los valores consecutivos 0, 1, 2 ... {a — 1); y á uno de 
ellos necesariamente corresponderá otro entero para x. Pues, en el 
supuesto contrario, obtendríamos a cocientes enteros distintos, 
acompañados de otros tantos residuos, entre los cuales habría por 
lo menos dos iguales, r h y rk, pongamos como ejemplo, por el hecho 
de ser todos inferiores al divisor?®. Resultaríanos entonces lo si- 
guiente: 
= 
c 
a 
tyn 
a 
rh 
a 
a 
r k 
j 
b_ 
a 
0/k — ?/h) = ?h — ?k- 
Pero, siendo a y b primos entre sí, é inferiores al a los números 
Vk é Vví, es imposible que el primer miembro de esta expresión re- 
