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presente un número entero, como le representa el segundo. Luego 
el resultado obtenido, partiendo del supuesto de ser iguales los re- 
siduos r n y rjf, es absurdo: luego absurdo será también aquel su- 
puesto. Y, por lo tanto, entre las a residuos, procedentes de la di- 
visión de c — ly por a, atribuyendo á y los valores 0, 1, 2 ... (a — 1) , 
uno por lo menos debe ser igual á cero. Al valor entero de y que le 
produzca corresponderá, pues, otro valor entero de x; y por estos 
dos valores, simultáneamente considerados, la ecuación ax -hby =? c 
quedará satisfecha. 
Para demostrar la tercera proposición, á estos dos valores desig- 
nemólos por x 0 é y 0 ; y nos resultará: 
ax -f- ly =c 
B» 0 H-5y„ = c 
» (y — y„) = 0 
De donde se infiere, por un teorema elemental, y recordando que 
b y a son números primos entre sí, que 
y — y 0 = ± na, ó y = y 0 ±: na: y 
x — # 0 = =F nb ó x = x 0 : =F nb 
Las soluciones, pues, de la ecuación ax -+- by — c se distribuyen 
en dos progresiones por diferencia, de términos correspondientes, 
como sigue, sin prejuzgar el signo de n\ 
y 0 na,.... y 0 — 2a, y 0 — a, y 0 , y 0 -+-a , y 0 + 2a, y 0 ± na 
x 0 ±:nb,.... x 0 -+-2b. x 0 -hb, x Q , x Q — b, x 0 — 2b, x^^nb. 
Y toda la dificultad de la solución general se reduce á la de hallar 
dos cualesquiera de estos términos, correspondientes ó conjugados, 
en ambas progresiones. 
La teoría de las fracciones continuas suministra un medio di- 
recto y seguro de hallar una de estas soluciones, y por ende todas 
las demás, conforme acaba de probarse. Pero, basándose también 
en algunas propiedades sencillísimas de las progresiones por dife- 
rencia, muy poco vulgarizadas, se puede también, con gran senci- 
llez y prontitud en muchos casos, obtener el mismo resultado. 
Las propiedades á que nos referimos son estas: (*) 
a) «Si en dos progresiones por diferencia, cuyos términos orde- 
nados por gradación ascendente ó descendente se corresponden, se 
multiplica el del lugar n en la primera por el de lugar n -h 1 en la 
(*) W. Berkhan.— Die Auflosung der Diophantischen Gleichung-en ersten 
Grades. 
