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segunda, y, recíprocamente, el del lugar n en la segunda por el del 
lugar n -h 1 en la primera, la diferencia de ambos productos será 
constante, cualquiera que el valor de n sea, é igual á la de produc- 
tos del primer término de la primera progresión por la razón de la 
segunda, y del primero de la segunda por la razón de la primera.» 
Sean, en efecto, éstas las dos progresiones: 
a, a -+■ a, a + 2«, a -+- (n — 1 )a, a -+- na, 
P, p -+- b, p -+- 2a, p -+- [n — 1) a, p -+- nb, 
El enunciado del teorema, facilísimo de comprobar en términos 
generales, cualesquiera que sean los valores de a y b, y de a y p, se 
reduce á lo siguiente: 
[a -+- {n — • 1) a]- [p -+- nb] — [p -h (n — 1) b]- [a -+- na] = — p a. 
b) El teorema anterior es caso particular de este otro: 
«Si en dos progresiones por diferencia, cuyos términos se corres- 
ponden, el término del lugar h -h 1 en la primera se multiplica por 
el del lugar w + 1 en la segunda, y el del lugar h -+- 1 en ésta por el 
del n-+- 1 en la anterior, la diferencia de ambos productos así obte- 
nidos será igual á la de productos del primer término de la primera 
progresión por la razón de la segunda, y del primero de la segunda 
por la razón de la primera, multiplicada por la diferencia de luga- 
res, n — h, de los términos en ambas progresiones considerados.» 
O, más brevemente y sin que haya casi motivo de vacilación ó 
duda: 
(a -h ha) (p -+■ nb) — (P -+- Tib) (a h- na) = (a¿ — p«) (n — k), 
Cuando h sea igual á n — 1 los términos de ambas progresiones 
serán consecutivos, y la diferencia desús productos, en orden alter- 
nado, constante, é igual á la diferencia ap — b a, conforme renglo- 
nes antes se concluyó. 
c) No menos curioso que los anteriores teoremas es el siguiente, 
de análoga índole: 
«Si, dadas dos pr ogresiones por diferencia, cuyos términos se 
corresponden, se multiplica un término cualquiera de la primera 
por la razón de la segunda, y el correspondiente en ésta por la ra- 
zón de la primera, la diferencia de productos así obtenidos será 
constante, é igual á la de productos, en orden alternado, de dos 
términos consecutivos de la primera progresión por los correspon- 
dientes en la otra.» 
Así se desprende sencillísimamente de la siguiente expresión 
que se confunde casi con una identidad, y del primero de los teore- 
mas anteriores: 
(a -+- na) b— (p -hnb) a= a b — p a. 
