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d) Del mismo teorema a) se desprende también esta otra intere- 
sante consecuencia: 
«Si en las progresiones por diferencia 
..... x 0 , x 0 — b,x Q — 2b, ... x 0 — (n — 1) b, x 0 — nb, 
••••> Vo, Vo y 0 -*-2a, ••• y 0 -+-{n — 1) a, y 0 -hna, 
que comprenden todas las soluciones en números enteros de la 
ecuación. 
ax + 5y = c, 
se toman dos términos consecutivos cualesquiera, y se multiplican 
en orden alternado, la diferencia de productos resultantes será 
constante é igual á c.» 
En efecto: 
[x 0 — (n— 1) b ] . Oo + na]—[y Q +{n— 1) a ] . [x Q —nb] =x 0 a—y 0 (—b)=c 
e) «En el supuesto de ser primos entre sí los coeficientes a y b, 
como es indispensable que lo sean para que la ecuación de que se 
trata admita soluciones en números enteros, si se forma la pro- 
gresión 
1, 1 + X, 1 + 2(1 , 1 -h 91(1, 
se obtendrá necesariamente un término, múltiplo de la diferencia 
a — b.» 
Para demostrarlo, comencemos por recordar que, si a y b son pri- 
mos entre sí, su diferencia a — b lo será también necesariamente 
con relación á cualquiera de ellas. Pues, en este supuesto, para que 
el término 1 -+- na sea múltiplo de a — b, basta saber si la ecuación 
1 -h na = m {a — b), 
puede quedar satisfecha por valores enteros de n y m: lo cual es 
precisamente lo demostrado como cierto en los primeros renglones 
de esta nota. 
f) «Si en la progresión 
1, 1 *+* a, 1 — i- 2a, ..... 1 -h na, 
el término 1 -{- na es múltiplo de la diferencia a — b, en la 
1, 1 + 5, 1+25, 1 +w5, 
también lo será el término correspondiente, 1 -\-nb, de la misma 
diferencia.» 
En efecto: 
1 -+- nb = 1 + nb + na — na— [l -hna) — (a — b) n. 
Lo cual demuestra la proposición enunciada. 
