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No hay pues puntos dobles. 
Núm . 78. Resulta de lo expuesto en el numero anterior, 
que los sistemas en involución, que consideramos, solo pueden 
afectar una de las dos formas que indican las figs. 3o y 36. 
Núm. 79. Ejemplos. Presentaremos, para aclarar lo que 
precede, dos ejemplos de sistemas en involución, correspon- 
dientes á cada una de las dos formas de dichos sistemas 
geométricos. 
Primer ejemplo. Consideremos una série de circuios en 
número indeterminado, aABa\ bABb\ cABc (fg. 37), 
que pasen por dos puntos fijos A, B; y cortemos este sistema 
por una recta XX 
Es fácil probar: 
1. ° Que los puntos a, a; b,b c, c constituyen un 
sistema en involución. 
2. ° Que cada dos puntos conjugados resultan de la inter- 
sección de un mismo círculo con la recta XX. 
3. d Que prolongando la cuerda AB hasta que corte á XX, 
el punto de intersección 1 será el centro de la involución. 
4. ° Que trazando dos círculos ABD , ABD X que pasen 
por los puntos fijos A, B, y sean tangentes á la secante XX, 
los puntos de contacto D y D u serán los puntos dobles. 
En efecto, por una propiedad de geometría se sabe que, 
laXla' ^IAXÍB; IbX Ib' = 1 A X 1 B ; 
IcX 1c -fAx IB ; 
luego 
laxld — lbxlb'^lcxlc = —IAxJB= 
constante. 
Lo cual prueba {Núm. 74) que el sistema a, b, c 
c\b\d está en involución; que a, a’; b,b'; c, c son 
pares de puntos conjugados; y finalmente, que / es el centro 
de la involución. 
Cuando el círculo variable llegue á una de las dos posi- 
ciones ABD, AB D { , los puntos conjugados se habrán reu- 
