luego 
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la x / a 1 = 1 b X Ib'. 
Segundo caso. Que los segmentos aa, bb r (fig. 42 bis) no 
lengan ninguna parle comuu, en cuya hipótesis aún la involu- 
ción será del primer género. 
La construcción en este caso es idéntica á la del anterior, 
y está indicada en la fig. 42 bis. 
Este caso solo difiere del primero, en que allí los cuatro 
puntos estaban á un mismo lado del centro, y en este último, 
cada par se halla á distinto lado. 
Tercer caso. Si los segmentos aa, bb r que determinan 
cada par de puntos conjugados, en parte se superponen y en 
parte no (fig. 43), la involución corresponderá al segundo gé- 
nero (m < o), y la construcción para determinar el centro será 
la siguiente. 
Tracemos sobre a a 1 y bb 1 como diámetros dos semicircun- 
ferencias aAa, bAb', y desde A, punto en que se cortan, ba- 
jemos A I perpendicular sobre XX: el punto / será el polo ó 
centro de involución. 
En efecto 
AP — alXal, y A/ 2 — blXoI, 
luego 
a 1 xa' I==b I Xb' I . 
De suerte que el punto 1 satisfará á la propiedad carac- 
terística del centro de involución. 
Núm. 89. Problema II. Definida una involución, ya por 
dos pares de puntos, ya por el centro y un par de puntos con- 
jugados, hallar otro par cualquiera de puntos también conju- 
gados. 
Resolución. Primer caso. (m> o) ( figs . 42 ij 42 bis). Tra- 
zando una circunferencia arbitraria cAA r c, que pase por los 
puntos A, A 1 , los de intersección c, c con la recta XX serán 
puntos conjugados. En efecto, tendremos evidentemente 
TOMO XVII. 
Icxl c=/Ax/A: 
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