130 
XII. — Propiedades proyeclivas de los sistemas y haces en 
involución. 
Núm. 100. Puesto que las propiedades y relaciones de los 
sistemas rectilíneos y de los haces en involución, dependen 
únicamente de la igualdad de relaciones anarmónicas, y que 
estas no cambian en las proyecciones cónicas ó cilindricas, 
dedúcese de aqui inmediatamente, que la proyección cónica ó 
cilindrica de lodo sistema ó haz en involución, será otro sis- 
tema ú otro haz en involución también. 
Sin embargo, como las propiedades proyeclivas son en ex- 
tremo interesantes, conviene que nos detengamos á expla- 
narlas. 
Núm. 101. Proyección cónica de un sistema rectilíneo en 
involución . Sea xx ( fig . 46) un sistema rectilíneo en involu- 
ción; PP el plano de proyección; O el polo ó punto de vista, 
y XX la proyección de xx. 
Si a, a; b t b'; c,c son pares de puntos conjugados 
de la involución xx , sus proyecciones A, A’; B , B’; C,C 
serán puntos conjugados de la involución XX; y es fácil pro - 
bar que la relación anarmónica de cuatro cualesquiera, — 
A, B, C\ D' por ejemplo, es igual á la de sus conjugados, 
— A', B\ C, D — . 
En efecto: puesto que el sistema xx está en involución, 
tendremos, 
R, (a, ó, c\ d f )=zB d (a, b ' , c, d); 
pero 
R a ( haz OABC’D’)=R a {a,b,c\d’) t 
y RJhaz OA r B' CD) = R d (a',b' c,d), 
luego 
R a {haz O A BC D') = R a (haz O A’ B’ CD) : 
