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luego 
R* ( haz s ) = i?a ( haz s'). 
Queda pues demostrado el teorema. 
Observación. Lo espuesto en el Núm. 112 demuestra en 
rigor la recíproca de dicho teorema. 
Núm. 114. Las fórmulas generales de la homografía 
f ax-^by-^c , ax-\-b'y-\-c 
X ~ zx + $y + y ’ V ~~ *x + Py + y' 
encierran nueve constantes a, b t c , a , b\ c\ a, ¡3, y; pero 
dividiendo los dos términos de cada quebrado por uno de di- 
chos coeficientes, y por ejemplo, quedan reducidas las cons- 
tantes á ocho. 
Podremos pues dar á las ecuaciones anteriores esta nueva 
forma: 
, ax-\-by-\-C' r a'x + b'y + c 
X — «8 + Py+í ’ 11 ~~ *x + Jy + 1 ’ 
Núm. 115. Supongamos que se da una figura A, y cua- 
tro puntos a\ b\ c, d' de la segunda A\ correspondientes 
á otros cuatro a , b , c, d de la primera. 
Es evidente que si A’ ha de ser homográfica con A , bas- 
tará el conocimiento de estos cuatro puntos para determinar 
completamente dicha segunda figura. 
En efecto, las ecuaciones que enlazan las coordenadas de 
uno y otro sistema serán de la misma forma que las del 
Núm. 114, y solo resta determinar las ocho constantes a,b, c , 
a , b\ c \ a, (3. 
Pero las coordenadas de los puntos aya, b y b’, c y c , 
d y d' (1) deben satisfacer á dichas ecuaciones; luego repre- 
sentando por 
(1) No se confundan las constantes a, b, c, a\ b', c', con los 
puntos a, b, c, d, a', b', c', d'. Para evitar toda duda, especifi- 
caremos siempre si se trata de los puntos ó de las constantes. 
