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Núm . 122. Imaginemos que se superpongan los ejes 
ox, oy ; o' x , o'y\ así como los planos de las dos figuras 
homográficas: es evidente que cada punto del plano será doble, 
y pertenecerá ya á la primera , ya á la segunda figura: en el 
primer caso su homólogo será un cierto punto a , así como 
en el segundo tendrá por correspondiente otro punto a, dis- 
tinto por regla general del punto a. 
Cuando, por el contrario, coincidieran a y a , y esta 
coincidencia fuera general para todos los puntos del sis- 
lema dos á dos, tendríamos sistemas homográficos particu- 
lares, á los que podríamos dar el nombre de sistemas en in- 
volución 
Núm . 123. Sean 77, J’J' {fig. 55) las dos rectas de am- 
bos sistemas que corresponden al infinito. 
De su definición se deducen inmediatamente las siguientes 
propiedades. 
1. Dos rectas ac, be del primer sistema, que pasen por 
un punto c de 7, tendrán por homologas en el segundo sis- 
tema dos rectas paralelas a' c' , b' c\ 
En efecto, el punto de intersección c de ambas rectas 
ac , be, está sobre la recta 1; luego su homólogo c está en 
el infinito, y por consiguiente las rectas a!c\ b f c se cortan 
en el espacio infinito; es decir, son paralelas. 
I!. Análogamente, á dos rectas d'e, fe, que se cortan 
sobre J\ corresponden en el primer sistema dos rectas para- 
lelas de, fe. 
111. Toda recia ae {fig. 56) del primer sistema, paralela 
á 7, tiene por homologa otra recta a! e r paralela á J 1 . 
En efecto, las rectas a é 7 se encuentran en el infinito; 
pero designando por oo este punto de intersección y por oo' 
el homólogo, tendremos: l.° que por pertenecer o© á a, oo' 
debe estar sobre a ; 2.° que por hallarse oo en 7, c© f 
debe hallarse en el infinito de la segunda figura; 3.° que por 
pertenecer oo al infiniio de la primera, oo' debe estar sobre 
/': es decir, que oo' debe hallarse sobre a\ sobre J\ y 
en el infinito; luego el punto de intersección de a! y J } está 
en el infinito, y ambas rectas son paralelas. 
Dedúcese de aquí esta importantísima consecuencia: agru- 
