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oíros cuatro, tres de ellos formando segmentos iguales, y el 
cuarto en el infinito. 
Recíprocamente, dados cuatro puntos en estas últimas 
condiciones, siempre podremos transformarlos en un sistema 
armónico. 
Núm. 165. Teorema. Dada una cónica C ( fig . 72), y un 
punto O en su plano, si por dicho punto trazamos una série 
de secantes Oa,Oa, Oá r que corten á la cónica; y en 
cada una de ellas — O a por ejemplo — buscamos el punto p 
conjugado armónico del O por relación á los puntos a , b, 
intersecciones de la secante y la cónica, el lugar geométrico 
de tales puntos p, p\ p n será una recta QQ' . 
Demostración . Proyectemos el sistema completo (fig. 73), 
formado por la cónica c, las secantes O a, O a ..... y el 
punto O sobre un plano R R, eligiendo el punto de vista V 
sobre una recta OV, paralela á dicho plano RR. 
La cónica c se proyectará según otra cónica C: 
las secantes concurrentes O a, Oa f según rectas para- 
lelas A B, A'B' ; 
el punto O en el infinito del plano RR; 
y los puntos p, p ..... en los puntos medios P, P 1 de 
las cuerdas A B, Á’B' 
Pero sabemos que el lugar geométrico de los puntos me- 
dios de un sistema de cuerdas paralelas de una cónica es un 
diámetro conjugado con dichas cuerdas f luego los puntos 
p } p ... . estarán también en línea recta. 
Núm. 166. Definición. La recta qq’ así formada se dice 
que es la polar del punto O; y recíprocamente, el punto O 
se dice que es el polo de la recta q q . 
Núm. 167. Determinación de la polar dado el polo. Pues- 
to que se trata de determinar una línea recta, basta en rigor 
trazar dos secantes, determinar sobre ellas los puntós corres- 
pondientes p, p\ y unir ambos puntos por una recta; pero 
es fácil simplificar esta construcción por alguno de los méto- 
dos siguientes. Examinaremos á este fin dos casos. 
Núm. 168. Primer caso: cuando el polo es esterior á la 
curva (fig. 74). Si desde el polo P trazamos dos tangentes 
Pt, Pt 1 a la cónica, es evidente que cada una de ellas puede 
