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Núm . 188. Podemos demostrar directamente este impor- 
tantísimo teorema. 
Transformemos á este fin la cónica en una circunferencia 
O ( fig . 88); P y p/? serán un polo y la polar del círculo; y 
a y Pó, b y Pa formarán asimismo dos sistemas, compuesto 
cada uno de un polo y su polar, pero hallándose el polo de 
Pb sobre la recta Pa, y el polo de Pa sobre la recta Pb. 
En una palabra, el nuevo sistema es en su esencia idén- 
tico al primitivo, sin más variaciones que la de haber susti- 
tuido á la cónica la circunferencia. 
Si para este caso queda demostrado el teorema , estará 
demostrado en general, puesto que los sistemas en involución 
son proyectivos. 
La perpendicular Ob á la recta Pa pasa por el polo de 
esta recta, luego pasa por b. 
Por otra parte, la recta OP es perpendicular á la polar 
pp, de suerte que los triángulos PQa y ObQ son seme- 
jantes, por ser ambos rectángulos, y tener iguales los ángulos 
aPQ y ObQ, cuyos lados son perpendiculares. 
De aquí se deduce 
aQ : QP :: OQ : bQ 
ó bien 
aQxbQ= OQx O P = constante . 
Yernos, pues, que los puntos a , b forman una involu- 
ción cuyo centro será el punto Q. 
Fácilmente se comprueba que Q es el centro, observando 
que cuando a está en el infinito su polar es OQ, y que pol- 
lo tanto el infinito y Q son puntos conjugados. 
La demostración es la misma para el caso en que el polo 
P sea exterior {fig. 88 bis). 
(Se continuará.) 
