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Núm. 13. Teorema fundamental. Imaginemos un haz 
OABCD ( fig . 8), cortado por una secante ó transversal XX. 
Sean a, b, c , d, los puntos en que dicha transversal corta á las 
rectas O A, O B, O C, OD. 
Nos proponemos demostrar que la relación anarmónica 
a c (id 
be ’ b d 
de los cuatro puntos a , b c, d, es igual á la relación anarmónica 
sen. AOC sen. ÁOD 
sen. BOC' sen. B O D 
del haz, sea cual fuere la posición XX de la secante. 
Dem . Las áreas de los triángulos Oac, O be, Oad, Obd , 
pueden espresarse de dos maneras distintas. 
1. a Por el producto de los lados concurrentes en O, por la 
mitad del seno del ángulo que formen cada dos de dichos 
lados. 
2. a Por el producto de las bases por la mitad de la altura 
OP. 
Así pues tendremos: 
O aX O cX sen A O C = a cXO P 
Obx O cX sen BOC~bcXOP 
O aX O dxsen A O D = a dx O P 
ObX O dx sen BO D~b dX O P. 
Ecuaciones que se verificarán, no solo en cuanto á los va- 
lores numéricos sino en cuanto á los signos, si contamos en 
el mismo sentido los ángulos y los segmentos: por ejemplo 
sen A OC y ac, tendrán el mismo signo, y los dos miembros 
de la primera ecuación serán á la vez, ó ambos positivos ó 
ambos negativos. 
Dividiendo la primera ecuación por la segunda, la tercera 
por la cuarta, y las dos ecuaciones resultantes una por otra, 
tendremos: 
