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Supongamos que no pase, y sea ch el punió en que corle á 
la secante XX. En virtud del teorema anterior tendremos 
ac a di a Y a'd’ 
b c b d t b' c * b’ d' 
pero por hipótesis 
ac ad de ad’ 
b c ' bd b’ c ’ b' d’ 9 
a di ad , , . a d -j- ddi ad 
Vd t = b 7/ ’ 0 men bJ+Td , — bd 
ad 
Resultado absurdo, porque un quebrado ^ distinto de la 
unidad, varía cuando á numerador y denominador se agrega ó 
resta una misma cantidad ddi , y absurdo que solo desaparece 
suponiendo dd { = o, es decir, cuando los puntos d y d t 
coinciden. 
Con lo cual queda probado que los ocho puntos a , b, c, d , 
a\ b\ c , d' pueden colocarse sobre un mismo haz O A B C I) 
Observación. No es absolutamente necesario, para colocar 
los ocho puntos a, b , c, d, a , b\ c\ d\ sobre un mismo haz, 
que coincidan dos de los puntos correspondientes; bien al con- 
trario, el problema admite otras infinitas soluciones. 
Tomemos en efecto sobre la recta XX ( fig . 13), un punto 
arbitrario f, y busquemos sobre la recta X’X ' un punto f' 
tal que los dos sistemas f,b,c>d y f\b\c\d\ tengan la 
misma relación anarmónica; es decir, que 
y-í : — = : (4 [ Núm. 7 .—Problema.] 
be bd be b d 
