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R a [O, A, B , C, D\ — R a [a it b, c, d] núm. 28 
R a [0;A\B r ,C,D'\ = R a [a\,b,c, d ] núm. 28, 
luego 
R a la i , b , c, ú] = /2 a [a\ , 6, c, d]; 
ó bien 
a x c e ü\ d a \ C a x d 
b c b d bcbd 
de donde se deduce 
OiC a\c a x c-\~ a iüí 
a x d a id aid-\-a\ai 
absurdo que solo desaparece suponiendo a x a { = o, es decir, 
cuando la recta X X pase por el punto a. 
Observación . Este teorema es, en los haces, el equivalente 
del teorema del núm. 29 en los segmentos; y aun puede 
generalizarse suponiendo, no que coinciden dos lados homólo- 
gos OD, O’D'l sínodos rectas O F, O'F, tales que las rela- 
ciones anarmónicas de los haces O PARC, O' F’ A’ B' C 
sean iguales. 
Núm. 33. Definición. Guando una propiedad, ya de posi- 
ción geométrica, ya de relación métrica, subsiste en la proyec- 
ción de una figura, se dice que la relación de que se trata es 
proyectiva. 
Dedúcese de esta definición, y de lo demostrado en los 
números 30 y 31 , que la relación anarmónica de cuatro 
puntos en linea recta , y la de un haz , son relaciones proyec- 
tivas. 
Núm. 34. Consideraciones generales. Muchos de los mé- 
todos empleados en la moderna geometría se reducen á 
uno general , conocido con el nombre de transformación de 
figuras. 
