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y como m, w, p , q son puntos cualesquiera, resulta que la 
relación anarmónica de cuatro puntos arbitrarios de la pro- 
yección del primer sistema, es igual á la de las proyecciones 
de los conjugados del segundo, con lo cual se demuestra la 
homografía de las dos proyecciones. 
Núm. 43. Continuando en la hipótesis de ios sistemas 
homográficos establecidos sobre una misma recta XX, es evi 
dente que si dichos sistemas son continuos (Núm. 39), es de- 
cir, si están formados por infinitos puntos distribuidos sobre 
la recta XX (fig. 22) por la ley de continuidad, todo punto 
[a, 6'] es doble; lo cual significa que se puede considerar ya 
como formando parte del primer sistema , ya como siendo uno 
de los puntos del segundo: pero adviértase que estos dos pun- 
tos superpuestos no serán en general conjugados; bien al con- 
trario, al punto a del primer sistema corresponderá otro 
cierto punto a del segundo, y al mismo punto a, ó mejor di- 
cho, al punto b f del segundo sistema, corresponderá otro, tal 
como el b, del primero. 
Hay casos en que los puntos conjugados de dos puntos a 
y b' que coinciden, coinciden también, es decir, en que a! y b 
se reúnen en uno solo (fig. 22 bis ), y entonces se dice que los 
puntos conjugados son recíprocos. 
Si esto se verifica para todos los puntos de la recta XX, ó 
lo que es igual, si los dos sistemas de puntos están agrupados 
por pares de puntos recíprocos, el sistema , como veremos 
más adelante, se dice que está en involución. 
Núm . 44. Fácil es expresar analíticamente la ley que en- 
laza dos sistemas homográficos distribuidos sobre la misma 
recta XX (fig. 23). 
Sean : O el origen de la abscisa variable que fija la 
posición de cada punto sobre la recta XX; 
a, b, c tres puntos arbitrarios del primer sistema; 
Oa — a; Ob — b; Oc — c ..... las abscisas de di- 
chos tres puntos; 
por último a\ b’, c 
y O a = a } ; Ob' = b f ; Oc — c' ... .. los puntos del 
segundo sistema conjugados con los a, b , c, de! primero, y 
sus abscisas respectivas. 
