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Supongamos que un punto x del primer sistema recorre 
la recta XX, y tratemos de expresar en función de su abscisa, 
que también la designaremos por la letra x, la x del punto 
conjugado del segundo sistema. 
En una palabra, tratamos de hallar una relación entre las 
abscisas x y x de dos puntos conjugados cualesquiera. 
Que esta relación debe existir es evidente, porque á cada 
punto x corresponde uno x' , y por lo tanto á cada abscisa x 
corresponderá otra x ; ó dicho de otro modo, deberemos tener 
X 
Resta pues únicamente determinar la naturaleza de esta 
unción. 
Puesto que los sistemas son homográficos, la relación 
anarmónica de a, b, c, x será la misma que la de sus puntos 
conjugados a, b', c, x : tendrémos pues: 
a b x b a b' x'b' 
a c x c a c' ' x c 
y sustituyendo, á fin de referir todas las distancias al ori- 
gen O, 
ab=:b — a; ac = c — a; xb = b — x ; xc~c — x; 
i ii ?» r r r r r 
(X o —■ o — a ; a c = c — a ..... 
resultará 
b ~ a b — x b' — d b' — x 
c — a c — x c — a c — x 
de donde se deduce 
( b — d)c — [b — d)x _ (b f — d)c' — (ó f — a')af 
\c-a)b — (c — a)x ( c r ~d)V^{c—d) x' 9 
y suponiendo para simplificar 
