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reciamente determinados, en el segundo este número será infi- 
nito , y en el tercero, x podrá tomar cualquier valor. 
Pero la relación precedente no solo es propia para definir 
los sistemas homográficos, sino que lodos los sistemas deter- 
minados por relaciones de este género lo son necesariamente. 
De aquí se deduce esta 
Proposición reciproca . Dando valores á x, por ejemplo, 
en la ecuación 
A -j- Bx + Cx + Dxx = o, 
y determinando los correspondientes de x\ las dos séries de 
puntos a, b , c a , U , c determinados por estos diversos 
valores de x y x , constituyen dos sistemas homográficos. 
En efecto, puede demostrarse fácilmente, que fijando cua- 
tro puntos arbitrarios por cuatro valores de x, y hallando 
por la fórmula 
A -¡- Bx + Cx + Dxx = o, 
los correspondientes de x' y los puntos que determinan, las 
relaciones anarmónicas de ambos grupos son iguales; que es 
precisamente la definición que hemos dado de la homografía. 
Sean a, b , c , d los cuatro valores de x: los correspondien- 
tes de x serán 
A B a 
C+Da ’ 
A + Bb A + Be 
C+Bb ’ C + Bc ’ 
A + Bd 
C + B d 
y las relaciones anarmónicas de los grupos a, b, c, d y 
a, b\ c , d' lomarán la forma. 
c— a d — a 
c — b d — b 
A+ Be 
A + Ba A+Bd 
A+Ba 
C+Dc 
C+Da C+Dd 
C+Da m 
A + Bc 
é v i a i 
A + Bb ' A+Bd 
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A + Bb ’ 
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