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Fijemos, por ejemplo , sobre la recta Pa dos punios 
D , D' en relación armónica con P y a; y considerando á 
dichos puntos como los puntos dobles de una involución, el 
centro será el punto medio O del segmento DD\ y P, a 
formarán parle del sistema (Núm. 87). 
Adviértase que hasta aquí los pares de puntos a, b y 
D, F son arbitrarios, é independientes entre sí. Pudiéramos 
en efecto, en vez de tomar D , l)\ elegir oíros dos puntos 
en relación armónica con P y a, puesto que hay infinitos 
sistemas sobre Pa que gozan de dicha propiedad: pudiéra- 
mos asimismo comenzar tomando a , b'; a", b" en vez 
de a , b. 
Sin embargo, una vez escogidos los puntos a, b, D y D\ 
y por lo tanto las rectas pp , Pb, Pa, y la involución O , 
todos estos elementos quedan invariables en el resto del 
enunciado. 
Hemos dicho que escojíamos dos puntos D, D' como 
puntos dobles, y en rigor esto no es otra cosa que definir la 
involución por medio de sus puntos dobles; pero es evidente 
que podríamos haber dicho: «escojamos una involución ar- 
bitraria sobre Pa, de modo que P y a sean puntos conju- 
gados,» sin que por esto el enunciado del teorema fuese dis- 
tinto del que vamos á explicar. 
Hechas estas observaciones, continuemos. 
Sean c, c un par de puntos de la involución O (que 
podrán obtenerse trazando sobre D D' la semicircunferencia 
DsD 1 ; desde un punto arbitrario c la tangente es; y desde 
s la perpendicular se sobre Pa): por el punto c, exterior á 
la curva, tracemos la tangente eS, y unamos los puntos S y 
c' ; por último, determinemos los puntos C y C en que las 
rectas Se y Se cortan á pp'. 
De este modo, á cada par de puntos c, c de la involución 
O corresponde un par de puntos C, C sobre pp; y el teo- 
rema de Desargues consiste en que dicho sistema de pares de 
puntos C , C forma una involución sobre la recta pp' . 
Demostración. En primer lugar transformemos por la 
perspectiva la figura 90, de suerte que la proyección cónica 
que resulte cumpla con estas dos condiciones: 
