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3.° Tangentes. Normales. Si desde el punió S (fig . 103) 
bajamos, en el plano Sp'p', la recta SE perpendicular 
sobre p p' , y consideramos á E como centro de una involu- 
ción cuyo parámetro sea SE 2 ; si además buscamos el seg- 
mento ab común á ambas involuciones E y T ; si, final- 
mente, sobre Pa ó Pb determinamos el centro de la involu- 
ción correspondiente, cuyos puntos dobles D y D' sean reales, 
dichos puntos nos servirán para resolver inmediatamente el 
problema. 
En efecto, sea G un punto de la curva C. Tracemos la 
tangente Gh hasta que corte á Pa, y sea h este punto. 
Hallemos sobre Pa el punto h f conjugado de h, en la 
involución de la que D y D' son puntos dobles. 
Es fácil probar que Gh y GE se proyectarán según la 
tangente y la normal en G ’ de C r . 
Que Gh se proyectará según la tangente en G' no cabe 
duda, y no debemos insistir sobre este punto. 
Sean ahora E y H 1 los puntos en que Gh y Gli cortan 
á p p . 
G SH y GSE' son los planos proyectantes de Gh y Gh\ 
y cortarán á los planos pp y Sp'p 1 según rectas paralelas; 
luego las proyecciones de Gh y Gh' formarán el mismo án- 
gulo que SE y SE', intersecciones ¡de los planos proyec- 
tantes con el Sp p; pero //y /P, según el teorema de De- 
sargues, son puntos conjugados de la involución P, luego el 
ángulo ESE' es recto. 
Es decir, que la proyección de Gh' será perpendicular á 
la proyección de Gh; y como Gh se proyecta según la tan- 
gente, dedúcese finalmente, que Gli se proyectará según la 
normal. 
í.° Focos. Las proyecciones de los puntos dobles D , D' 
son los focos de C' . 
punto N sobre TS, de modo que TS X TN= constante de la in- 
volución T; y todo queda reducido á trazar sobre NS un seg- 
mento NabS, que determine aSb = a. 
Proponemos al lector este sencillísimo problema de Geometría 
como ejercicio. 
