166 
Se sabe que en una involución de primer género los pun- 
tos dobles dividen armónicamente á todos los segmentos de 
la involución; luego si D y // son los puntos dobles, los 
cuatro punios h , D, h\ D' formarán un sistema armónico, y 
el haz (G/iD/i D') será un haz armónico. Su proyección so- 
bre el plano p p será también otro haz armónico; pero Gh 
y G!i son, según lo demostrado anteriormente, la tangente 
y la normal de la cónica C en G' ; luego tendremos un haz 
armónico G f Idnd' (/¡y. 106), en el que dos de las rectas con- 
jugadas G’ n, G' t forman ángulo recto, y se sabe que en este 
caso las otras dos forman ángulos iguales con las primeras: 
es decir, ángulo dG' n = d' G' n. 
Otro tanto puede decirse de cualquier punto G", G' ,f 
de la cónica C\ luego d y d\ proyecciones de los puntos 
D , D' , gozan de la siguiente propiedad: uniendo dichos puntos 
d, d f á cualquier punto de la curva — G' por ejemplo , — las 
rectas dG', d' G' forman ángulos iguales con la normal; y esta 
propiedad es característica de los focos. 
Núm. 200. Hemos dicho que cuando en un haz armónico 
dos rectas forman ángulo recto, las otras dos forman ángulos 
iguales con las primeras. 
En efecto, trazando (fig. 107) la secante xx' perpen- 
dicular sobre Sb, será paralela á S a>, y resultarán los cuatro 
puntos en relación armónica d, b, d! y el infinito de xx’. 
Pero siendo el infinito el conjugado de b , este es el punto 
medio de dd\ y por lo tanto db — d'b; de donde resulta 
ángulo dSb = ángulo d* Sb. 
Nota. En la figura 103 la recta PS debe pasar por O', 
y deben estar en línea recta los puntos li G H' . 
Téngase además en cuenta, para evitar dudas, que toda la 
figura está deformada por la perspectiva, y que ha sido pre- 
ciso alterar la posición de algunas líneas para reducir la ex- 
tensión de la lámina. 
(Se continuará.) 
