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Demostración. Transformemos por el método de las pola- 
res recíprocas las cinco rectas dadas, y obtendremos cinco 
puntos P’ y P'\ P", P y ; pero solo hay una cónica 
que pase por estos cinco puntos, luego solo hay una tangente 
á las cinco rectas dadas. 
II. Teorema directo. Dados cuatro puntos y una recta, 
solo se pueden hallar dos cónicas que pasen por dichos pun- 
tos y tangentes á la recta. 
Demostración. Puesto que la cónica pasa por los cuatro 
puntos dados, tendremos cuatro ecuaciones de primer grado 
en a, b, c, d, e de la forma 
y' 2 + ax y -f- bx 2 4- cy + dx + e — o; 
v eligiendo la recta dada por eje de la x, al hacer y = o en 
la ecuación general de la cónica buscada, 
if + axy + bx 2 -¡ - cy dx e = o, 
con lo cual obtendremos 
bx 2 dx - -f- e — o, 
esta ecuación deberá darnos dos raíces iguales, para lo cual 
debe verificarse 
d 2 — 4 be = o, 
ecuación de segundo grado en b, d , e. 
El sistema de cinco ecuaciones entre a , b, c, d, e, forma- 
do por, cuatro de primer grado y una de segundo, nos dá dos 
sistemas de valores para todas ellas; luego hay dos cónicas 
que cumplan con las condiciones del problema. 
Teorema inverso. Dadas cuatro rectas y un punto, solo se 
pueden hallar dos cónicas tangentes á las rectas y que pasen 
por el punto. 
La transformación por polares recíprocas es aplicable á 
este caso como al precedente, y con igual sencillez. 
