m 
a it # 12 # 13 # iu Ui \=o 
j 
#21 #22 #23 #2n #2 ¡ 
I 
#3 1 #32 #33 #3u #3 
¡ ( 8 ) 
#ni #n2 #n 3 #na #n ¡ 
, j . i tj 
b { b 2 bz b n v |1 
Esta ecuación (8) es la condición necesaria y suficiente 
para que la ecuación (7) coexista con las (1). 
En efecto, 1.° es condición necesaria , porque si de la últi- 
ma vertical de (8) restamos todas las otras multiplicadas por 
las respectivas incógnitas x u x u x 3 x n , el valor de la 
determinante no cambiará, pero los elementos de dicha últi- 
ma vertical se convierten en las diferencias entre los pri- 
meros y los segundos miembros de las ecuaciones (1) y (7); 
y como estas diferencias son nulas, puesto que las ecua- 
ciones suponemos que coexisten, la determinante tendrá todos 
los elementos de una vertical —-la última— nulos, y será igual 
á cero. 
2.° Recíprocamente, para demostrar que es suficiente , de- 
mostraremos que si la ecuación (8) se verifica, las (1) y (7) 
coexisten. Por ejemplo, que la (7) coexiste con las (1). 
Para ello repitamos la transformación precedente, y ten- 
dremos 
#1» i #1» 2 #1,U O 
#2 ; i #2» #2» n O 
#n> í #n> #o, u O 
bi b 2 b n v — (bi Xi-\- ó 2 #2-.... b n Xu) 
ó bien 
