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á los tres valores de a de la fórmula final (19), el otro nos 
da otras tres. En efecto; por medio de uno cualquiera de los 
dos valores de m se logra reducir la transformada (10) á ecua- 
ción binomia, y de este modo resolver la ecuación (1) de un 
modo completo , porque para admitir que la ecuación (1) no 
habia sido resuelta de un modo completo, sería necesario ad- 
mitir también que su reducida binomia tampoco lo habia si- 
do, lo que es absurdo. Ahora bien: si uno solo de los dos va- 
lores de m resuelve completamente la ecuación (1), el otro 
debe también por su parte, é independientemente del primero, 
resolverla. De aquí se deduce que los dos valores de m nos 
dan á conocer, no distintas raices, sino dos distintas solucio- 
nes completas de la ecuación (1); soluciones que nos dan, 
cada una por su parte, todas las raices. Esto además es bien 
evidente; pues de admitir que cada una de estas soluciones 
nos da distintas raices, como cada solución nos da tres rai- 
ces, correspondientes á los tres valores de a, deduciríamos 
el absurdo de que la propuesta (1), que es de tercer grado, 
tiene más de tres raices. 
También es notorio, que los tres valores de x que nos da 
la fórmula (19), correspondientes á cualquiera de los dos valo- 
res de m, son los tres raices de la ecuación (1). En efecto: 
una vez elejido m (y esta elección es completamente arbitra- 
ria, pues m no tiene que cumplir con más condiciones que 
la de ser raiz de la ecuación (11), y los dos valores lo son), los 
valores de x solo dependen de a. Si hubiera algún valor de 
a, que sustituido en (19), no nos diera una raiz de la ecua- 
ción (1), la causa de esto sería que el valor de a, tendría que 
cumplir con alguna condición, en algún caso incompatible, 
con la de ser raiz cúbica de la unidad; pero esta condición no 
existe: porque los tres valores de a nos dan una de las tres 
raices de la ecuación (13), y esta es la única condición á que 
están sujetos; condición que siempre cumplen para que la 
fórmula (19) nos dé las raices de la ecuación propuesta (1). 
El valor de m (12) será real ó imaginario, según sea 
(9 r — pqf — - 4 (p 2 — 3 q) ( q 2 — 3pr) ^o. 
